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京大生が選ぶ感動した一問
第8回 東京大学
1987年 数学・前期

問題と解答例

問題

解答例

感動した理由

 のロ.が肝になっている問題ですが、難しいです。大まかな雰囲気としては

数列  が  のときよりも
数列  が  のときの方が
  が大きくなる

ということを示していけばよいと分かるのですが、なんとも表現がしにくい問題で、どのように書けばよいのか、かつて何時間も悩みました。一気に証明できるような都合のよい方法があるのではないか、とさえ思ってしまいます。
みなさんも頭ではわかる気がするけれども、どうにも書きにくいと感じられたのではないでしょうか。

そのような中で、きちんと下準備をして③、④を示すと、⑤が出てくるというところが不思議で、「努力して細かいところを1個1個検証していった結果、その努力が報われた」というタイプの感動を味わいました。今まで不安だった解答が、ホッと安心できるものになった瞬間です。

さて、前回『京大生が選ぶ感動した一問』「第7回」で触れた、「チェビシェフの和の不等式」ですが、①を使って証明することができます。

①の不等式  を用いて  として考え、以下のように書き出すと

この発想、前回も出てきましたよね。  を1つずつずらして行くあたりがなんとも巧妙です。あとは両辺を  で割り算してやると

となって、これはまさしく「チェビシェフの和の不等式」となっています!

この事実を知ったとき、前問の本質には「チェビシェフの和の不等式」があり、さらにその本質には今回の不等式があったのだ、と思って二重にも三重にも感動しました。独立した概念だと思っていたことが繋がってくると、頭の中が整理されて心地よくなりますよね。

また、出題年度をチェックされた方はお分かりかと思いますが、1986年に京大で「チェビシェフの和の不等式」を変形した問題(第7回の問題)が出題され、翌年の1987年に東大で、そもそもこの不等式の本質部分を証明するような不等式をテーマにした問題(今回の問題)が出題されています。
受験生のときにふと気づき、そういう意味でも印象的な2問でした。

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